3-8 译码器的设计

用三个 bit 的输入信号来得到八个 bit 的输出信号，一个十分自然的思路便是使用二进制编码：毕竟我们有 $2^3=8$ 。如果我们将作为输入信号的三个 bit 记作 $I_0, I_1, I_2$， 作为八个输出信号的 bit 记作 $O_0, O_1, \dots, O_8$ ，那么我们可以作出如下的真值表：

很显然，如果我们将 $O_0, \dots, O_7$ 作为八个布尔函数来看的话，它们都只有唯一一个值为1的最小项，所以这个最小项便是它们的最简表达式。因此我们有

$$\begin{aligned} &O_0=\overline{I_2I_1I_0},\qquad O_4=I_2\overline{I_1I_0}\\ &O_1=\overline{I_2I_1}I_0,\qquad O_5=I_2\overline{I_1}I_0\\ &O_2=\overline{I_2}I_1\overline{I_0},\qquad O_6=I_2I_1\overline{I_0}\\ &O_3=\overline{I_2}I_1I_0,\qquad O_7=I_2I_1I_0\\ \end{aligned}$$

通过 Logisim-Evolution 与布尔函数画出电路图并模拟运行如下：

由图可知，电路符合我们的要求。

使用 2-4 译码器实现 3-8 译码器

这是一个 2-4 译码器的电路结构

现在我们需要用两个 2-4 译码器来实现一个 3-8 译码器。既然作为输入信号的八个三位二次元组合 $000,001,\dots,111$ 对应着八个仅一个对应的输出端为高电位的结果，我们可以将这八位输出端分割为高四位与低四位，分别由两个 2-4 译码器来控制。

但是因为在我们这里，译码器的输出会且仅仅出现一个 $1$ ，而两个译码器的输出拼接会产生两个 $1$ 出来 (例如 $0010\ 0100$)，这样的结果不符合我们对译码器输出的要求，因此我们需要给两个译码器分别安装一个使能端，在同一时间内，只能有一个使能端开启，即同一时间内只能有一个译码器为激活状态，而未激活的译码器结果应输出 $0000$.

假设高四位译码器的使能端接收信号记作 $E_H$，输出的四位信号记作 $O_H$，输出结果对应的二位输入为 $I’_H$， 低四位的使能端记作 $E_L$，输出记作 $O_L$ ，输出结果对应的二位输入为 $I’_L$，三位输入记作 $I_0,I_1,I_2$，则相应的真值表如下：

观察真值表，我们可以得到一些重要性质，这对我们设计电路有巨大作用：

1. 当 $I_2$ 为低电位， $E_H$ 关闭， $E_L$ 开启，当 $I_2$ 为高电位， $E_H$ 开启， $E_L$ 关闭
2. $I’_H$ 与 $I’_L$ （如果使能端未关闭） 的组合始终与 $I_1I_0$ 的组合相同

综上，我们可以直接将 $I_0$ 与 $I_1$ 都同时接入两个译码器，同时引入 $I_2$ 作为使能端，一个取反值接入低四位译码器，另一个取原值接入高四位译码器。电路图如下：

首先是安装使能端的 2-4 译码器

以及由其构造的 3-8 译码器

借助 3-8 译码器进行楼道灯控制

楼道灯控制是指：在一个楼道中，有三个开关控制一盏灯是否亮，且改变其中任意一个开关的状态时，灯的状态都会随之改变。

例如，若某一时刻时，三个开关的状态分别是闭合、断开、闭合，而此时灯灭，则此时，将任意一个闭合的开关断开，或者将任意一个断开的开关闭合，则灯亮（即三个开关均闭合，或三个开关的状态分别为闭合、断开、断开，或三个开关的状态分别为断开、断开、闭合时，灯均亮）

听起来有点像异或：每当有一位输入的信号改变，最后输出的1位信号都要改变。但是我们这里需要使用 3-8 译码器，一个直观的思路就是通过译码器的 8 位输出来控制灯的开关。注意到改变其中任意一个开关的状态，相当于将输入的二次元组合转为另一个相邻的二次元组合，这让我们想到格雷码，进而发现，假如我们将灯的开关状态作为一个关于 $I_0,I_1,I_2$ 的布尔函数，可以做出一个卡诺图：

因此，我们可以将 $O_0, O_3, O_5, O_6$ 接入一个或门，用于控制灯的开关，另外四个信号作为无用信号排除。

得到的电路图如下：